Lý Thuyết Nhị Thức Niu Tơn Kèm Các Dạng Toán Có Đáp Án

Nhị thức niu tơn là một trong những đề chính cần thiết nhập đề thi đua lớp 11 rưa rứa THPTQG. Bài ghi chép này sẽ hỗ trợ học viên tóm chắc hẳn lý thuyết và dạng bài xích luyện về: mò mẫm thông số nhập khai triển, mò mẫm số hạng nhập khai triển, tính tổng, rút gọn gàng biểu, minh chứng biểu thức, giải phương trình, bất phương trình chỉnh ăn ý tổng hợp trải qua những ví dụ.

1. Lý thuyết nhị thức niu tơn

1.1. Định lý khai triển nhị thức niu tơn

Trong công tác toán giải tích lớp 11 vẫn học tập, khai triển nhị thức niu tơn(ngắn gọn gàng là lăm le lý nhị thức) là một trong những lăm le lý toán học tập về sự khai triển hàm nón của tổng. Định lý khai triển một nhị thức bậc n trở nên một nhiều thức sở hữu n+1 số hạng:

Bạn đang xem: khai triển nhị thức newton

$\left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$

Có $\left ( C_{k}^{n} \right )$ là số tổng hợp chập k của n thành phần ( $0\leqslant k\leqslant n$ ). Ta sở hữu lăm le lý, số những tổng hợp chập k của n thành phần vẫn cho tới như sau:

$\left ( C_{k}^{n} \right )=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{k!}$

1.2. Công thức nhị thức niu tơn

1.2.1. Định lý

Với $\forall n\epsilon N^{*}$ với cặp số (a,b) tao có:

Định lý nhị thức niu tơn lớp 11

1.2.2. Hệ quả

$\left (1+x\right)^{n}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^{2}C_{n}^{2}+...+x^{n}C_{n}^{x}$

Đăng ký ngay lập tức sẽ được những thầy cô ôn luyện kiến thức và kỹ năng ôn thi đua chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông sớm ngay lập tức kể từ bây giờ!!!

2. Các dạng toán nhị thức niu tơn

2.1. Cách mò mẫm thông số nhập khai triển và mò mẫm số hạng nhập khai triển

Với dạng toán này, những em hãy dùng số hạng tổng quát mắng (số hạng loại k+1) của khai triển. Tiếp theo đuổi chuyển đổi nhằm tách riêng rẽ phần đổi thay và phần thông số, tiếp sau đó phối kết hợp đề bài xích nhằm xác lập chỉ số k. Lưu ý số hạng bao gồm thông số + phần đổi thay.

2.1.1. Ví dụ nhị thức niu tơn với cơ hội mò mẫm thông số nhập khai triển

VD1: Hệ số của $x^{31}$ nhập khai triển $\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

$\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{k}\left ( \frac{1}{x^{2}} \right )^{40-k}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{3k-80}$

Hệ số của x³¹ là $C_{40}^{k}$ với k vừa lòng ĐK 3k - 80 = 31 ⇔ k=37

Vậy thông số của $x^{31}$ là $C_{40}^{37} = 9880$

VD2: Hệ số của x³ nhập khai triển nhị thức niu tơn $\left ( x^{2}+\frac{2}{x} \right )^{12}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tao có:

$(x^{2} + \frac{2}{x})^{12} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}(x^{2})^{12 - k}.(\frac{2}{x})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}.2^{k}.x^{24-3k}$

Ta có: 24 - 3k = 3 $\Leftrightarrow$ k = 7

Vậy thông số x³ trong khai triển là a₃ = $C_{12}^{7}.2^{7} = 101376$

2.1.2. Ví dụ về kiểu cách mò mẫm số hạng nhập khai triển

VD1: Tìm số hạng không tồn tại x nhập khai triển của nhị thức sau: $\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12}$ ; $x\neq 0$

Lời giải:

Số hạng tổng quát mắng nhập khai triển $\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12}$ là $C_{12}^{k}x^{12-k}\frac{1}{x}^{k}=C_{12}^{k}x^{12-2k}$

Số hạng không tồn tại x ứng với k vừa lòng 12 - 2k = 0 ⇔ k=6

=> số hạng ko chứa chấp x là $C_{12}^{6}=924$

VD2: Số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển: $\left ( x-\frac{2}{\sqrt{x}} \right )^{n}$ biết $A_{2}^{n}=C_{n}^{n-2}+C_{n}^{n-1}+4n+6$

Lời giải:

$A_{2}^{n} = C_{n}^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} + 4n + 6 \Leftrightarrow n(n - 1) = \frac{n(n-1)}{2!} + n + 4n + 6 \Leftrightarrow n = 12$

Theo khai triển nhị thức Newton thì

$(x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k}.(\frac{2}{\sqrt{x}})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}2^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k - \frac{k}{2}}$

Ta xét phương trình:

$12 - k - \frac{k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 8$

Vậy tao hoàn toàn có thể Kết luận số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển $(x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n}$ là:

$a_{0} = (-1)^{8}.2^{8}C_{12}^{8} = 126720$

VD3: Tìm số hạng chứa chấp $x^{\frac{10}{3}}$ nhập khai triển của nhị thức niu tơn của $\left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10}$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tao có:

$(x\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{2}})^{10} = \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x\sqrt[3]{x})^{10-k}.(\frac{2}{x^{2}})^{k}$

$= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x^{\frac{4}{3}})^{10-k}.\frac{2^{k}}{x^{2k}}$

$= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}.2^{k}.C_{10}^{k}.x^{\frac{4}{3}(10-k) - 2k}$

Ta xét phương trình $\frac{4}{3}(10-k) - 2k = \frac{10}{3} \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa $x^{\frac{10}{3}}$ trong khai triển của nhị thức Newton của $\left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10}$ là:

$a_{\frac{10}{3}} = (-1)^{3}.2^{3}.C_{1}^{3}0x^{\frac{10}{3}} = -960x^{\frac{10}{3}}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng quãng thời gian học tập kể từ mất mặt gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đuổi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks chung tăng cường thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không tính phí ngay!!

2.2. Rút gọn gàng đẳng thức, minh chứng biểu thức

Phương pháp:

Nhận xét vấn đề kể từ cơ lựa chọn hàm số phù phù hợp với tổng đẳng thức, bất đẳng thức (thông thông thường tao hoặc dùng những hàm cơ phiên bản $\left ( x+1 \right )^{n},\left ( 1+x \right )^{n},\left ( 1-x \right )^{n},\left ( x-1 \right )^{n}$ .
Khai triển nhị thức một vừa hai phải tìm kiếm được và dùng những quy tắc chuyển đổi đại số, giải tích để sở hữu được dạng phù phù hợp với đề bài xích.
Chọn độ quý hiếm của x cho tới tương thích để sở hữu được biểu thức như nhằm bài xích Thông thưởng tao lựa chọn x là những số 1 hoặc -1 (cũng hoàn toàn có thể $\pm 2,\pm 3$ ...).

Vậy tao giành được tổng hoặc mệnh đề cần phải minh chứng.

2.2.1. Ví dụ về rút gọn gàng đẳng thức

VD1: Tính tổng: $S=C_{3030}^{0}-2C_{3030}^{1}+2^{2}C_{3030}^{2}-2^{3}C_{3030}^{3}+...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

Lời giải:

Theo công thức nhị thức Niu tơn lớp 11 với a = 1, b= -2 tao được:

$\left(1-2\right)^{3030}=C_{3030}^{0}1^{3030}-2C_{3030}^{1}1^{3029}+2^{2}C_{3030}^{2}1^{3028}-...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

Xem thêm: vbt toán lớp 5 tập 2

VD2: Rút gọn gàng biểu thức sau:

$A= 2.1C_{n}^{2}-3.2C_{n}^{3}+...+n(n-1)(-1)C_{n}^{n}$

Lời giải:

a) Ta có:

$(1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1}x + C_{n}^{2}x^{2} - C_{n}^{3}x^{3} +...+ (-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n} (1)$

Ta lấy đạo hàm bậc nhì theo đuổi x cả nhì vế của phương trình (1) tao được:

$-n(1 - x)^{n - 1} = -C_{1}^{n} + 2C_{n}^{2}x - 3C_{n}^{3}x^{2} + ...+ n(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 1}$

$n(n - 1)(1 - x)^{n - 2} = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}x + ...+ n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 2} (2)$

Thay x = 1 nhập phương trình (2) tao được:

$0 = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}+...+n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n} \Leftrightarrow A = 0$

2.2.2. Ví dụ minh chứng biểu thức

VD1: Chứng minh rằng: $C_{2001}^{0}+3^{2}C_{2001}^{2}+...+3^{2000}C_{2001}^{2000}=2^{2000}(2^{2001}-1)$

Lời giải:

$\left ( 1+x \right )^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+...+C_{n}^{n}x^{n}$

Cho n = 2001 và x = 3 tao được:

$4^{2021}=C_{2021}^{0}+3C_{2021}^{1}+...+3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (1)

Cho n = 2001 và x = -3 tao được:

$-2^{2021}=C_{2021}^{0}-3C_{2021}^{1}+...-3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (2)

(1) + (2) vế theo đuổi vế tao được:

$\frac{1}{2}\left ( 4^{2021}-2^{2021}\right )=2^{2000}\left ( 2^{2021}-1 \right )=C_{2021}^{0}+3^{2}C_{2021}^{2}+...+3^{2000}C_{2021}^{2000}$

Điều nên bệnh minh

VD2: Chứng minh rằng:

$C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+...=2^{n-1}$

Lời giải:

Ta có: $(1 + x)^{n} = C_{n}^{0}.x^{0} + C_{n}^{1}.x + C_{n}^{2}.x^{2} +...+ C_{n}^{n}.x^{n}$

$\rightarrow (1 + 1)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} +...+ C_{n}^{n} (1)$

và $(1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}.C_{n}^{n}.x^{n}$

$\rightarrow (1 - 1)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}C_{n}^{n} (2)$

Ta lấy phương trình (1) + (2) tao được:

$2^{n} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)$

$\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)$

Lấy (1) - (2) tao được

$2^{n} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)$

$\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)$

Vậy $C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+... = C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+... = 2^{n-1}$

2.3. Giải phương trình, bất phương trình chỉnh ăn ý tổ hợp

Đối với dạng bài xích này, các em dùng những công thức tính số hoạn, tổng hợp chỉnh ăn ý nhằm chuyển đổi phương trình tiếp sau đó đánh giá ĐK của nghiệm và Kết luận.

VD1: Tìm n biết $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=15$

Lời giải:

Điều khiếu nại $n\geqslant 2$

Giả thiết tương tự với:

$n+\frac{n(n-1)}{2}=15\Leftrightarrow n^{2}+n-30=0\Leftrightarrow n=5$ hoặc $n=-6$ (loại)

VD2: Cho khai triển $\left ( 1+2x \right )^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$ . Tìm số vẹn toàn dương n biết $a_{0}+8a_{1}=2a_{2}=1$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tao có:

$(1 + 2x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}(2x)^{k} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}.2^{k}.x^{k}$

Từ cơ, tao sở hữu thông số của x^k là $a_{k} = 2^{k}C_{n}^{k}$

Theo fake thiết vẫn cho tới của đề bài xích tao có:

$C_{n}^{0} + 8.2.C_{n}^{1} = 2.2^{2}.C_{n}^{2} + 1 \Leftrightarrow 1 + 16n = 8.\frac{n(n - 1)}{2} + 1 \Leftrightarrow 4n^{2} - 20n = 0$

$\Leftrightarrow n = 5$

VD3: Tìm số bất ngờ n thỏa mãn: $C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+...+C_{2n}^{2n}=2^{2015}$

Lời giải:

Đặt:

$A = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{2} + C_{2n}^{4} +...+ C_{2n}^{2n}$

$B = C_{2n}^{1} + C_{2n}^{3} + C_{2n}^{5} +...+ C_{2n}^{2n - 1}$

Từ cơ tao suy đi ra được:

$\left\{\begin{matrix} A + B = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} +...+ C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n} = (1 + 1)^{2n} = 2^{2n}\\A - B = C_{2n}^{0} - C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} -...- C_{2n}^{2n - 1}+ C_{2n}^{2n} = (1 - 1)^{2n} = 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A = \frac{2^{2n}}{2} = 2^{2015} \Leftrightarrow 2n = năm 2016 \Leftrightarrow n = 1008$

Nhận ngay lập tức bí quyết hoàn toàn cỗ cách thức giải từng dạng bài xích nhập đề thi đua Toán trung học phổ thông Quốc Gia ngay

Trên đấy là toàn cỗ lý thuyết và những dạng bài xích luyện của hệ thức nhị thức niu tơn nhập công tác Toán 11. Để đạt được thành quả cao các em nên thực hiện tăng nhiều loại bài xích không giống nữa. Hy vọng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài xích luyện kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Để học tập và ôn luyện nhiều hơn thế nữa những phần kiến thức và kỹ năng lớp 12 đáp ứng ôn thi đua trung học phổ thông Quốc gia môn Toán, những em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo ngay lập tức kể từ thời điểm ngày hôm nay nhé!

Bài ghi chép xem thêm thêm:

Xem thêm: cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hoán vị, tổng hợp và chỉnh hợp

Quy tắc đếm

Phép demo và đổi thay cố