công thức tính cấp số nhân

Cấp số nhân là phần kiến thức và kỹ năng cần thiết vô lịch trình toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cấp cho số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài bác tập dượt thì những em cần thiết ghi lưu giữ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài bác tập dượt cấp cho số nhân qua chuyện nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là 1 trong những mặt hàng số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhị, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp cho số nhân). Có nghĩa là:

Bạn đang xem: công thức tính cấp số nhân

u_{n} là cấp cho số nhân với \Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1} với n \in N^{\ast }

Ví dụ: Dãy số (u_{n}), với u_{n}=3^{n} là 1 trong những cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3 và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp cho số nhân un có 

Công bội q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân u_{1}=3,u_{2}=9. Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân u_{3}=8,u_{4}=16 . Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2

3. Tính hóa học cấp cho số nhân

  • $(u_{n})$ là 1 trong những cấp cho số nhân thì kể từ số hạng loại nhị, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp cho số nhân hữu hạn) tiếp tục bởi vì tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}

  • Nếu một cấp cho số nhân un đem số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát mắng un sẽ tiến hành tính bởi vì công thức:

u_{n}=u_{1}.q^{n-1}

Ví dụ : Cho cấp cho số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy mò mẫm u4

Lời giải: 

Ta có: u2= u. u= 3

          u3= u. u4

Từ (1) tự u2  > 0 ( vì thế u1=1 > 0 và q > 0)

\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}

  • Khi q = 0 thì mặt hàng đem dạng u1; 0;0…;0;… và Sn=u1 

  • Khi q = 1 thì mặt hàng đem dạng u1;u1;u1;...;u1;... và Sn=nu1.

  • Khi u= 0 thì với từng q, cấp cho số nhân đem dạng 0; 0; 0;…; 0;… và Sn=u1.

Đăng ký ngay lập tức nhằm được trao trọn vẹn cỗ kiến thức và kỹ năng về cấp cho số nhân

4. Tổng hợp ý những công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

  • Tính q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1

  • Kết luận: 

  • Nếu q là ko thay đổi thì mặt hàng un là cấp cho số nhân

  • Nếu q thay cho thay đổi thì mặt hàng un ko là cấp cho số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp cho số nhân đem số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng thứ nhất.

Lời giải: 

Ta đem 6 số hạng thứ nhất là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un đem số hạng loại nhị là 10 và số hạng loại năm là 1250.

  1. Tìm số hạng loại nhất

  2. Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

  1. Đặt r là công bội của cấp cho số nhân.

 Ta có: r(5-2) = r3 hoặc r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ cơ r = 5. 

\Rightarrow u1=10=5=2. 

Số hạng loại nhất là 2 

  1. 2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang đến cấp cho số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}. Dãy số Un bên trên là cấp cho số nhân đích hoặc sai? 

Lời giải: 

Ta có: \frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const không tùy theo n. Vậy mặt hàng số (Un) là 1 trong những cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt3

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp cho số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc thù của CSN, thay đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân Un đem U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tớ có: q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân Un đem U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.

Lời giải: 

Từ công thức tớ có: 

q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2

Ví dụ 3: Đề mang đến tía số x,y,z lập trở thành một cấp cho số nhân và tía số x, 2y, 3z lập trở thành một cấp cho số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải: 

Đặt q là công bội của cấp cho số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở thành một cấp cho số nằm trong \Rightarrow x+3z=4y

Giải câu hỏi công thức cấp cho số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp cho số nhân

Phương pháp:

Để mò mẫm số hạng của cấp cho số nhân tớ dùng công thức tính số hạng tổng quát mắng Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u1 và q  của cấp cho số nhân biết: 

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.

Lời giải: 

Ta trở nên đổi: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.

\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12

Vậy cấp cho số nhân (un) đem u1 = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài mang đến cấp cho số nhân (un) với u= 8 , u= 32. Số hạng loại 10 của cấp cho số nhân cơ là? 

Lời giải: 

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân (un), tớ đem q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2

Với q = 2, tớ đem u10 = u. q= 8 . 2= 1024

Với q = -2, tớ đem u10 = u. q7= 8 . (-2)= -1024

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân (un), hiểu được số hạng thứ nhất u= 3, công bội là 2. Hãy mò mẫm số hạng loại 5

Lời giải: 

Áp dụng công thức tớ đem : u= u. qn–1

\Leftrightarrow u= u. q=3 . 2= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng thứ nhất vô dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng thứ nhất vô mặt hàng - công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cấp cho số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(un) đem u1=2 và q = 3. 

13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}

Ví dụ 2: Bài mang đến cấp cho số nhân (un) với

(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.

  1. 5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là gì? 

  2. 10 số hạng đầu của cấp cho số nhân (un) bên trên đem tổng là bao nhiêu? 

Lời giải: 

Giải bài bác tập dượt vận dụng công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}

  1. Dãy số là cấp cho số nhân là đích hoặc sai?

  2. Tính S = u+ u+ u6... + u20

Lời giải: 

  1. Ta có: \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const ko tùy theo n. Vậy mặt hàng số (Un) là 1 trong những cấp cho số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt{3}

  2. Dãy số: u2, u4, u6,..., u20 lập trở thành một cấp cho số nhân với số hạng đầu là u= 9, q = 3 

\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác tấp tểnh những bộ phận kết cấu nên một cấp cho số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q tiếp sau đó suy rời khỏi được công thức mang đến số hạng tổng quát mắng .

Ví dụ 1: CSN (un) như sau, mò mẫm u1 khi:

u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}

Mà u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9

Lời giải: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.

\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}

\Leftrightarrow Ta đem q = 3 hoặc q = \frac{1}{3}

Khi cơ thứ tự lượt u_{1} = \frac{81}{11} hoặc u_{1} = \frac{1}{11}

Xem thêm: cho sơ đồ chuyển hóa sau

Ví dụ 2: Dãy số này là cấp cho số nhân: 

  1. 1;0,2;0,04;0,008;...

  2. 1,22,222,2222,...

  3. X,2x,3x,4x,...

  4. 2,3,5,7,...

Lời giải: 

Xét đáp án A tớ có: 

u= 1, u= u. 0,2, u= u. (0,2)2, u= u. (0,2)3

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tớ chứng tỏ được u= (0,2)n

Khi cơ \frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2 ko đổi

Vậy mặt hàng số là cấp cho số nhân đem công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải: 

Gọi cấp cho số nhân (un) cần thiết mò mẫm đem công bội q, số hạng thứ nhất un.

Ta có: s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}

s5' = u2 + u3 + u4 + u5 + u6

= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q

= q . (u+ u+ u+ u+ u5)

= q . S5

Mà S= 31; S5' = 62

\Rightarrow q=2

u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1

Vậy cấp cho số nhân (un) là 1;2;4;8;16;32

Nắm trọn vẹn kiến thức và kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài bác tập dượt Toán trung học phổ thông với cỗ bí quyết độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp cho số nhân (un) đem công bội q thỏa mãn nhu cầu -1 < q <1 thì cấp cho số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S= u1(1 - qn)(1 - q) = u1(q- 1)(q - 1)

 Trong cơ sn là tổng n số hạng thứ nhất của cấp cho số nhân (un)

Ví dụ: \frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243} là một cấp cho số nhân lùi vô hạn q=\frac{1}{3}

5.2. Bài toán tổng của cấp cho số nhân lùi hạn

Đề bài bác mang đến cấp cho số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tớ đem tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tính tổng 

S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...

Lời giải:

Đây là tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn với u_{1}=1, q=\frac{-1}{3} nên 

S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}

Ví dụ 2: Biểu thao diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải: 

Ta có: 

0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}

Vậy 0,777...=\frac{7}{9}

Ví dụ 3: Tổng của một cấp cho số nhân lùi vô hạn là \frac{5}{3} tổng tía số hạng thứ nhất của mặt hàng số là \frac{39}{25}. Xác tấp tểnh (u1), q của cấp cho số đó?

Lời giải: 

Giải câu hỏi vận dụng công thức cấp cho số nhân

6. Một số bài bác tập dượt cấp cho số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp cho số nhân un đem công bội q

a) lõi u= 2, u6 = 486. Tìm q

b) lõi q= \frac{2}{3}, u_{4} = \frac{8}{21}. Tính u1

c) lõi u1 = 3, q = -2. Xác tấp tểnh số 192 là số hạng loại bao nhiêu vô cấp cho số nhân?

Lời giải: 

Áp dụng công thức un = u1.qn-1

a) Theo công thức bên trên tớ có: u6 = u1.q5 \Rightarrow q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3

b) Theo công thức tớ có: u4 = u1.q3 \Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}

c) Theo công thức tớ có: 12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (un) biết cấp cho số nhân bao gồm đem 5 số hạng và:

a) TH1: u= 3 , u= 27

b) TH2: u– u2 = 25 ,  u3 – u1 = 50

Lời giải: 

a) Theo công thức un = u1.qn - 1 ta đem theo lần lượt những số hạng u3 và u5 được tính như sau:

u3 = u1.q2 \Rightarrow 3 = u1.q2 (1)

u5 = u1.q4 \Rightarrow 27 = u1.q4 (2)

Từ (1) và (2) tớ hoàn toàn có thể suy rời khỏi được

q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tớ đem u_{1} = \frac{1}{3} ta đem cấp cho số nhân theo lần lượt là: \frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27

Với q = -3 tớ đem u_{1} = -\frac{1}{3} ta đem cấp cho số nhân theo lần lượt là: \frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27​​​​​​​​​​​​​​

b) Theo đề bài bác rời khỏi tớ có:

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.

Thay (2) vô phương trình (1) tớ đem 50.q = 25 \Leftrightarrow q = \frac{1}{2}

\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}

Vậy tớ đem cấp cho số nhân như sau:

-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu bởi vì 31, kể từ cơ tớ suy ra:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31

\Rightarrow u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q

\Rightarrow u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau  bởi vì 62 kể từ thách thức suy ra

u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S5 = 31 = \frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1

Vậy tớ đem cấp cho số nhân theo dõi đề bài bác là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là 1 trong những,4%. lõi rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc bấy giờ là 1 trong những,8 triệu con người, căn vặn với nút tăng lương lậu vì vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa số lượng dân sinh của tỉnh cơ là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh cơ thời điểm hiện tại là N 

Sau 1 năm số lượng dân sinh tăng là 1 trong những,4%N 

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này là n + 1,4%N = 101,4%N 

Số dân tỉnh cơ sau từng năm lập trở thành một cấp cho số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài bác mang đến un đem những số hạng 0, tìm  u1 biết:

u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}. Mà u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9

Lời giải: 

Giải câu hỏi vận dụng công thức cấp cho số nhân

Tham khảo ngay lập tức một trong những dạng bài bác tập dượt thương gặp gỡ về cấp cho số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng quãng thời gian học tập kể từ rơi rụng gốc cho tới 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo dõi sở thích  

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô  

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks chung bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test không tính phí ngay!!

Xem thêm: giới thiệu biểu đồ hình quạt

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp cho số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài bác tập dượt kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo và huấn luyện nhằm học tập và ôn tập dượt kiến thức và kỹ năng Toán 11 phục vụ ôn ganh đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

  • Tổng hợp ý những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân & bài bác tập
  • Cấp số nằm trong là gì? Công thức cấp cho số nằm trong và bài bác tập
  • Xác suất của trở nên cố
  • Giới hạn của mặt hàng số