thể tích khối chóp đều

Công thức tổng quát lác và công thức tính thời gian nhanh thể tích khối chóp đều:

Khối chóp đều

  • Là khối chóp sở hữu lòng là nhiều giác đều và những cạnh mặt mũi đều bằng nhau (hoặc góc thân thiện lòng và những cạnh mặt mũi bởi vì nhau)

  • Chân đàng cao trùng với tâm đàng tròn trặn nước ngoài tiếp mặt mũi đáy;

  • Các cạnh mặt mũi tạo nên với lòng góc bởi vì nhau;

  • Các mặt mũi mặt tạo nên với lòng góc bởi vì nhau;

  • Chiều cao $h$ khối chóp xác lập bởi vì $h=\sqrt{{{b}^{2}}-R_{d}^{2}},$ vô tê liệt ${{R}_{d}}$ là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp nhiều giác lòng và $b$ là chừng nhiều năm cạnh mặt mũi.

  • Khối chóp n giác đều, chừng nhiều năm cạnh lòng là a, chừng nhiều năm cạnh mặt mũi là b sở hữu $V=\dfrac{1}{24}{{a}^{2}}\cot \dfrac{\pi }{n}\sqrt{4{{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{n}}}.$

Một số tình huống đặc trưng của khối chóp đều

  • Khối tứ diện đều cạnh $a$ sở hữu $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$ và $V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8},$ vô tê liệt $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ là độ cao khối tứ diện đều.  
  • Khối chóp tam giác đều cạnh lòng bởi vì $a,$ cạnh mặt mũi bởi vì $b$ sở hữu $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}.$
  • Khối chóp tứ giác đều cạnh lòng bởi vì $a,$ cạnh mặt mũi bởi vì $b$ sở hữu $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2(2{{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{6}.$
  • Khối chóp tứ giác đều phải sở hữu toàn bộ những cạnh bởi vì $a,$ sở hữu $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
  • Khối chén bát diện đều cạnh $a$ là hợp ý của nhì khối chóp tứ giác đều phải sở hữu toàn bộ những cạnh bởi vì $a$ sở hữu $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
  • Khối chóp lục giác đều cạnh lòng bởi vì $a,$ cạnh mặt mũi bởi vì $b$ sở hữu $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{2}.$

>>Xem thêm: Công thức tổng quát lác tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và những tình huống quánh biệt

>>Xem thêm: Thể tích của khối chóp sở hữu cạnh mặt mũi vuông góc với mặt mũi lòng và thể tích của khối chóp sở hữu nhì mặt mũi mặt nằm trong vuông góc với mặt mũi đáy

>>Xem thêm: Giải đáp học viên - Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, SA=x, SB=SC=SD=AB=1, x=? nhằm hình chóp S.ABCD hoàn toàn có thể tích lớn số 1.

Combo 4 Khoá Luyện ganh đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán dành riêng cho teen 2K5

Khối chóp có tính nhiều năm phụ vương cạnh mặt mũi bởi vì nhau

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ sở hữu $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=S{{A}_{3}}=k$ thì chân đàng cao của khối chóp trùng với tâm đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.$ Vì vậy độ cao khối chóp $h=\sqrt{{{k}^{2}}-R_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}^{2}}.$

Bạn đang xem: thể tích khối chóp đều

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ sở hữu $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=...=S{{A}_{m}}(3\le m\le n)$ Khi tê liệt nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}$ nội tiếp và hình chiếu vuông góc của $S$ lên phía trên mặt phẳng lặng lòng trùng với tâm nước ngoài tiếp của nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}.$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ sở hữu $AB=a,\text{ }BC=3a,\text{ }CA=\dfrac{5a}{2}.$ sành ${A}'A={A}'B={A}'C$ và cạnh mặt mũi $A{A}'$ tạo nên với mặt mũi phẳng lặng lòng $\left( ABC \right)$ một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối lăng trụ vẫn mang lại bằng

A. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

B. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

C. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

D. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

Giải. Vì ${A}'A={A}'B={A}'C$ nên hình chiếu vuông góc của \[{A}'\] xuống mặt mũi phẳng lặng $\left( ABC \right)$ trùng với tâm đàng tròn trặn nước ngoài tiếp $O$ của tam giác $ABC.$

Ta sở hữu ${A}'O\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( A{A}',\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'AO}={{60}^{0}}\Rightarrow {A}'O=OA\tan {{60}^{0}}={{R}_{ABC}}\sqrt{3}=\dfrac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}\sqrt{3}$

$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'O=\dfrac{AB.BC.CA}{4}\sqrt{3}=\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ sở hữu $SA=1,$ toàn bộ những cạnh sót lại bởi vì $\sqrt{3}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

B. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

Xem thêm: tiếng việt lớp 1 chân trời sáng tạo

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$

Giải. Tứ giác $ABCD$ có tính nhiều năm những cạnh bởi vì $\sqrt{3}$ nên là 1 trong những hình thoi có tính nhiều năm cạnh bởi vì $\sqrt{3}.$

Vì $SB=SC=SD=\sqrt{3}$ nên hình chiếu của $S$ lên phía trên mặt phẳng lặng $(ABCD)$ trùng với tâm đàng tròn trặn nước ngoài tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Vì tam giác $BCD$ cân nặng bên trên $C$ nên $H\in AC$ là trung trực của cạnh $BD.$

Gọi $O=AC\cap BD$ để ý $\Delta SBD=\Delta ABD(c-c-c)\Rightarrow SO=AO\Rightarrow SO=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow \Delta SAC$ vuông bên trên $S.$

Do tê liệt $AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=2\Rightarrow SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}.1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ta sở hữu $B{{D}^{2}}=4O{{B}^{2}}=4\left( B{{C}^{2}}-O{{C}^{2}} \right)=4B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=12-4=8\Rightarrow BD=2\sqrt{2}.$

Do tê liệt ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}.2.2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$ Chọn đáp án D.

Tự luyện: Khối chóp $S.ABCD$ sở hữu lòng là hình thoi cạnh $2$ và $SB=SC=SD=2,$ cạnh $SA$ thay cho thay đổi. Gọi $M$ là trung điểm của $SA.$ Thể tích lớn số 1 của khối tứ diện $MBCD$ bằng

Xem thêm: một thửa ruộng hình chữ nhật