căn bậc 2 của 2

"Hằng số Pythagoras" đem hướng tới phía trên. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Căn bậc nhị của 2 tự với phỏng nhiều năm của cạnh huyền của một tam giác vuông với nhị cạnh lòng tự 1.

Căn bậc nhị của 2, hoặc lũy quá 50% của 2, được viết lách là 2 hoặc 212, là số đại số dương sao mang lại Lúc nhân với chủ yếu nó, mang lại tớ số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhị số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó với đặc thù tương tự động.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 2

Trong hình học tập, căn bậc nhị của 2 là phỏng nhiều năm lối chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh nhiều năm 1 đơn vị; bắt đầu từ lăm le lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết thứ nhất.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhị của nhị với hình mẫu số nhỏ vừa phải nên là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 vô OEIS bao gồm những chữ số vô màn trình diễn thập phân của căn bậc nhị của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú giải. Ngoài việc đã cho chúng ta biết căn bậc nhị của 2 vô hệ lục thập phân (1 24 51 10), bạn dạng khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì lối chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 rất có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ tự 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của 2 vô tư chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, chính cho tới khoảng chừng sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân tốt nhất có thể của 2 người sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện tại vô văn khiếu nại toán học tập của nén Độ cổ truyền, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng phỏng nhiều năm [của cạnh] tự 1 phần tía chủ yếu nó và 1 phần tư của 1 phần tía và giảm sút 1 phần tía mươi tư của 1 phần tư tê liệt.[2] Tức là,

Các môn đồ gia dụng của Pythagoras trị hiện tại rằng lối chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể sánh được, hoặc theo đòi ngôn từ tân tiến, căn bậc nhị của 2 là một vài vô tỉ. Không nhiều điều được hiểu rõ về thời hạn hoặc tình cảnh của tò mò này, tuy nhiên cái thương hiệu thông thường được nhắc tới là Hippasus của Metapontum. Các môn đồ gia dụng Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhị của 2 là 1 trong những kín, và theo đòi điều kể, Hippasus đã biết thành làm thịt vì thế bật mí nó.[3][4][5] Căn bậc nhị của 2 đôi lúc còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như vô Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một vài thuật toán nhằm xấp xỉ 2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhị số vẹn toàn hoặc một vài thập phân. Thuật toán phổ cập nhất mang lại việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong vô số PC và PC tiếp thu, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhị. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một vài a0 > 0 bất kì. Sau tê liệt, người sử dụng số vừa phải đoán, tính từng số hạng theo đòi công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần tiến hành quy tắc tính bên trên (tức là phổ thông chuyến tái diễn và số "n" càng lớn), mang lại tớ xấp xỉ càng đảm bảo chất lượng của căn bậc nhị của 2. Mỗi chuyến tính mang lại tớ khoảng chừng gấp rất nhiều lần số chữ số chính. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp theo sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của 2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân tự team của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục mang lại việc tính 2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhị của 2 vô năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với màn trình diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường, chỉ mất π là được xem đúng chuẩn rộng lớn.[9] Những đo lường vì vậy đa phần là nhằm đánh giá tự thực nghiệm coi những số tê liệt liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ giản dị 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc dù là hình mẫu số đơn thuần 70, phỏng sai chếch của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là 1 trong những giản phân của màn trình diễn liên phân số của căn bậc nhị của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ này ngay gần rộng lớn nên với hình mẫu số ko bé nhiều hơn 169, tự 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp theo sau với sai số khoảng chừng −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tư vô cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, với sai số khoảng chừng 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục mới gần đây trong các công việc tính những chữ số của 2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng tư năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ cụt về tính chất vô tỉ của 2 dùng lăm le lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là 1 trong những nhiều thức monic với thông số vẹn toàn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ này của P(x) cũng chính là một vài vẹn toàn. gí dụng lăm le lý mang lại nhiều thức P(x) = x2 − 2, tớ suy đi ra 2 hoặc là số vẹn toàn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<2<2 nên nó ko là một vài vẹn toàn, vì thế 2 là một vài vô tỉ. Chứng minh này rất có thể tổng quát: căn bậc nhị của bất kì số bất ngờ này ko nên số chủ yếu phương là một vài vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhị hoặc lùi vô hạn mang lại chứng tỏ rằng căn bậc nhị của bất kì số bất ngờ ko nên số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh tự lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi chứng tỏ phổ cập nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là chứng tỏ tự phản hội chứng, vô tê liệt mệnh đề cần thiết chứng tỏ được fake sử là sai rồi suy đi ra fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết chứng tỏ là chính.

  1. Giả sử 2 là một vài hữu tỉ, tức 2 rất có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, vô tê liệt ab yếu tố bên cạnh nhau.
  2. Ta suy đi ra a2/b2 = 2a2 = 2b2.   (a2b2 là những số nguyên)
  3. Do tê liệt a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số vẹn toàn k sao mang lại a = 2k.
  4. Thay 2k mang lại a vô đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tớ được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tớ được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả ab đều là số chẵn, trái ngược với fake thiết rằng ab là nhị số yếu tố bên cạnh nhau.

Vì tớ suy đi ra được một điều vô lý, fake sử (1) rằng 2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, 2 nên là một vài vô tỉ.

Chứng minh này được khêu ý tự Aristotle, vô cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo thứ nhất xuất hiện tại vô cỗ Trung tâm của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng chứng tỏ này sẽ không ở trong bạn dạng thảo gốc và vì thế ko thể nghĩ rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum mang lại tính vô tỉ của 2.

Một màn trình diễn hình học tập của chứng tỏ bên trên được John Horton Conway nghĩ rằng của Stanley Tennenbaum Lúc ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và chuyến xuất hiện tại mới gần đây nhất là vô một bài bác báo tự Noson Yanofsky vô tập san American Scientist số mon 5-6 năm nhâm thìn.[14] Cho nhị hình vuông vắn với cạnh là số vẹn toàn ab, vô tê liệt một chiếc với diện tích S gấp rất nhiều lần hình mẫu tê liệt, bịa nhị hình vuông vắn nhỏ vô hình vuông vắn rộng lớn như vô hình 1. Phần phú nhau ở thân thích với diện tích S ((2ba)2) nên tự tổng diện tích S của nhị hình vuông vắn nhỏ ko được tủ phủ (2(ab)2). Như vậy tớ chiếm được nhị hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn ban sơ và diện tích S đặc điểm này gấp rất nhiều lần hình mẫu tê liệt. Lặp lại quy trình này tớ rất có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên do bọn chúng nên với cạnh là số vẹn toàn dương, tức to hơn hoặc tự 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol mang lại tính vô tỉ của 2.

Một chứng tỏ hình học tập dùng phản hội chứng không giống xuất hiện tại năm 2000 vô tập luyện san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là 1 trong những chứng tỏ dùng cách thức lùi vô hạn, mặt khác dùng quy tắc dựng hình tự thước kẻ và compa và đã được biết kể từ thời Hy Lạp cổ truyền.

Lấy ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mày n như vô Hình 2. Theo lăm le lý Pythagoras, m/n = 2. Giả sử mn là những số vẹn toàn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BDCE với tâm A. Nối DE tách BC bên trên F. Dễ thấy, nhị tam giác ABCADE cân nhau theo đòi cạnh-góc-cạnh.

Ngoài đi ra tớ cũng thấy BEF là tam giác vuông cân nặng. Do tê liệt BE = BF = mn. Theo tính đối xứng, DF = mn, và FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy đi ra FC = n − (mn) = 2nm.

Như vậy tớ với cùng một tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2nm và cạnh mặt mày mn. Chúng nhỏ rộng lớn mn tuy vậy với nằm trong tỉ lệ thành phần, trái ngược với fake thiết là m:n là tối giản. Do tê liệt, mn ko thể nằm trong là số vẹn toàn, nên 2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía chuồn không giống mang tính chất kiến tạo là thiết lập 1 vách bên dưới mang lại hiệu của 2 và một vài hữu tỉ bất kì. Với nhị số vẹn toàn dương ab, số nón chính của 2 (tức số nón của 2 vô khai triển đi ra quá số vẹn toàn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số vẹn toàn không giống nhau; vì thế | 2b2a2 | ≥ 1 với từng a, b vẹn toàn dương. Khi đó[16]

Xem thêm: ưu thế lai biểu hiện cao nhất ở f1 vì

bất đẳng thức cuối chính tự tớ fake sử a/b ≤ 3 − 2 (nếu ko thì hiệu bên trên phân minh to hơn 3 − 22 > 0). Bất đẳng thức này mang lại tớ ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | 2a/b |, kể từ tê liệt kéo đến chứng tỏ tính vô tỉ thẳng nhưng mà ko cần thiết fake sử phản hội chứng. Chứng minh này cho rằng tồn bên trên một khoảng cách thân thích 2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ này.

Tính hóa học của căn bậc nhị của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của 2, mặt khác cũng chính là nghịch ngợm hòn đảo của 2, xấp xỉ tự 0.707106781186548, là 1 trong những độ quý hiếm thông thường gặp gỡ vô hình học tập và lượng giác vì thế vectơ đơn vị chức năng tạo ra góc 45° với những trục thì với tọa độ

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm với tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b với tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội đổi khác về phương trình bậc nhị, tớ rất có thể giải được δS = 1 + 2.

2 rất có thể được màn trình diễn theo đòi đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhị và những quy tắc toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhị được khái niệm hợp lí mang lại số phức ii.

2 cũng chính là số thực độc nhất không giống 1 nhưng mà tetration vô hạn chuyến tự với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố nghiêm ngặt như sau: nếu như với số thực c > 1 tớ khái niệm x1 = cxn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn Lúc n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy 2 là số c > 1 độc nhất thỏa f(c) = c2. Hay rằng cơ hội khác:

2 cũng xuất hiện tại vô công thức Viète mang lại π:

với m vết căn và chính một vết trừ.[17]

Ngoài đi ra, 2 còn xuất hiện tại trong vô số hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn không biết liệu 2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc thù mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách đo đếm màn trình diễn của chính nó vô hệ nhị phân đã cho chúng ta biết với năng lực nó chuẩn chỉnh vô hệ cơ số nhị.[19]

Biểu trình diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/2, cùng theo với những màn trình diễn tích vô hạn của sin và cosin mang lại ta

hoặc tương tự,

Ngoài đi ra tớ rất có thể người sử dụng chuỗi Taylor của những nồng độ giác. Ví dụ, chuỗi Taylor mang lại cos π/4 mang lại ta

Chuỗi Taylor mang lại 1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! mang lại ta

Sử dụng đổi khác Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của mặt hàng, tớ được

Một công thức dạng BBP mang lại 2 vẫn không được thăm dò đi ra, tuy vậy đang được với những công thức dạng BBP mang lại π22ln(1+2).[20]

2 rất có thể màn trình diễn tự phân số Ai Cập, với hình mẫu số tự những số hạng loại 2n của một mặt hàng hồi quy tuyến tính như là mặt hàng Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhị của 2 tự mặt hàng giản phân.

Căn bậc nhị của 2 với màn trình diễn tự liên phân số sau:

Những giản phân thứ nhất là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội 2 một khoảng chừng ngay gần tự 1/2q22[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp theo sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về 2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhị của 2 (căn bậc nhị của 1/2) là 1 trong những hằng số thông thường người sử dụng.

Xem thêm: phân tích hình tượng cây xà nu

(dãy số A010503 vô bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS vật lý cơ người Đức Georg Lichtenberg[22] trị hiện tại rằng ngẫu nhiên tờ giấy má này với cạnh nhiều năm dài vội vàng 2 chuyến cạnh cụt rất có thể được gấp rất nhiều lần muốn tạo trở thành một tờ giấy má mới mẻ với tỉ lệ thành phần y chang tờ ban sơ. Tỉ lệ giấy má này bảo vệ rằng tách giấy má trở thành nhị nửa đã cho ra những tờ giấy má nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ lệ thành phần. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa mẫu giấy vô thời điểm đầu thế kỷ đôi mươi, chúng ta người sử dụng tỉ lệ thành phần của Lichtenberg muốn tạo trở thành giấy má khổ sở "A".[22] Hiện ni, tỉ lệ thành phần sườn hình (xấp xỉ) của mẫu giấy theo đòi xài chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:2.

Chứng minh:
Gọi cạnh cụt và cạnh nhiều năm của tờ giấy má, với

theo đòi ISO 216.

Gọi là tỉ số của 1/2 tờ giấy má thì

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhị của 3
  • Căn bậc nhị của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + 2
  • Căn bậc nhị của 2 tạo hình vô mối quan hệ Một trong những f-stop của thấu kính máy hình ảnh, kéo đến tỉ lệ thành phần diện tích thân thích nhị khẩu phỏng thường xuyên là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 22.
  • Công thức Viète mang lại pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc cho dù thời buổi này cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá phổ cập, không tồn tại dẫn chứng thẳng này đã cho chúng ta biết cơ hội người Babylon tính xấp xỉ 2 bên trên bạn dạng khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson khuyến cáo một vài fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày đôi mươi mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong Lúc viết lách về hội chứng mihn tự phản hội chứng, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể sánh được với cạnh của chính nó, cũng chính vì số lẻ tiếp tục ngay số chẵn nếu như bọn chúng sánh được với nhau".
  12. ^ Phiên bạn dạng giờ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất bạn dạng tự E. F. August bên trên Berlin vô 1826–1829 đem chứng tỏ này vô phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên bạn dạng của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm nhâm thìn.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú giải 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach đồ sộ Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng tư năm 2010.Quản lý CS1: bạn dạng tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu giúp mặt hàng số vẹn toàn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of 2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, vô Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, P.. (2001), “Pythagoras' Constant: 2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhị của Hai cho tới 5 triệu chữ số tự Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhị của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn tập luyện những hội chứng minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root 2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.