cho tam giác abc nhọn

Chứng minh chi đề: Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC) và P.. là trung điểm của đoạn trực tiếp BC. Chứng minh rằng AP là đàng cao của tam giác ABC.

Để minh chứng rằng thành phầm của phỏng nhiều năm đoạn trực tiếp AF và AB bởi vì với thành phầm của phỏng nhiều năm đoạn trực tiếp AE và AC bên trên một tam giác nhọn ABC, tao cần dùng lăm le lý nhiều giác vô tam giác. Dưới đấy là quá trình nhằm minh chứng fake thiết này:
Bước 1: Xác lăm le những điểm quan trọng vô tam giác ABC. Cho tam giác nhọn ABC, lựa chọn điểm H là phó điểm của phụ vương đàng cao AD, BE, CF.
Bước 2: Vẽ đường thẳng liền mạch AF và đường thẳng liền mạch AE. Cần minh chứng rằng thành phầm của phỏng nhiều năm trực tiếp AF và AB bởi vì với thành phầm của phỏng nhiều năm trực tiếp AE và AC.
Bước 3: Sử dụng lăm le lý nhiều giác vô tam giác. Theo lăm le lý nhiều giác vô tam giác, tao nói cách khác rằng điểm F, A, E nằm trong phía trên đường thẳng liền mạch nào là bại hoặc đồng quy cùng nhau. Hay phát biểu cách tiếp theo, tao nói cách khác rằng những điểm F, A, E trực tiếp sản phẩm.
Bước 4: sít dụng tích đoạn trực tiếp. Do những điểm F, A, E trực tiếp sản phẩm, tao hoàn toàn có thể vận dụng đặc điểm tích đoạn trực tiếp. Vì vậy, tao nói cách khác rằng thành phầm của phỏng nhiều năm trực tiếp AF và AB bởi vì với thành phầm của phỏng nhiều năm trực tiếp AE và AC.
Bước 5: Kết luận. Vậy, tất cả chúng ta đang được minh chứng được rằng thành phầm của phỏng nhiều năm đoạn trực tiếp AF và AB bởi vì với thành phầm của phỏng nhiều năm đoạn trực tiếp AE và AC bên trên tam giác nhọn ABC.

Để minh chứng rằng đường thẳng liền mạch DC cũng vuông góc với cạnh AB, tao tiếp tục dùng lăm le lý Euclid về tam giác vuông.
Gọi H là phó điểm của đường thẳng liền mạch AD và BF. Theo lăm le lý Euclid về tam giác vuông, tao cần thiết minh chứng rằng AH ⊥ BC.
Vì AD ⊥ BC và BF ⊥ AC (do D và B thứu tự là những chân đàng cao của tam giác), nên AH là đàng cao của tam giác ABC.
Vậy tao đem AH ⊥ BC.
Khi bại, theo gót lăm le lý Euclid về tam giác vuông, đường thẳng liền mạch DC cũng vuông góc với cạnh AB.

Để minh chứng rằng đàng cao AE và BF của tam giác ABC hạn chế nhau bên trên trực tâm H của tam giác, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể vận dụng nguyên tắc phó điểm đàng cao. Cụ thể, tao đem quá trình sau:
Bước 1: Gọi E là chân đàng cao kể từ đỉnh A xuống đàng BC. Tương tự động, gọi F là chân đàng cao kể từ đỉnh B xuống đàng AC.
Bước 2: Chúng tao cần thiết minh chứng rằng tam giác AEH và tam giác BFH đồng dạng. Ta tiến hành điều này bằng phương pháp minh chứng tỷ trọng đồng dạng Một trong những cặp cạnh ứng của nhị tam giác này.
Bước 3: sít dụng nguyên tắc phó điểm đàng cao, tao hiểu được vô tam giác nhọn ABC, đàng cao AE trải qua trực tâm H. Từ bại, tao có:
AH là phân giác góc BAC (do H là trực tâm, nên AH phân chia góc BAC trở thành nhị góc bởi vì nhau).
HE tuy vậy song với AB (do AB là cạnh đối lập với góc BAH, và AE là đàng cao nên tuy vậy song với AB).
Vậy, tao đem điểm A cộng đồng và những cạnh ứng tuy vậy tuy vậy, vì thế tao đem tam giác AEH và tam giác ABC đồng dạng.
Bước 4: Tương tự động, tao cũng tiếp tục minh chứng đồng dạng thân thuộc tam giác BFH và tam giác ABC.
Bước 5: Vì nhị cặp tam giác AEH và BFH đồng dạng với tam giác ABC, nên tao đem tỷ lệ
AE/AB = AH/AC = HE/BC
BF/BA = BH/BC = HF/AC
Bước 6: Do nhị tỷ trọng bên trên đều nhau, tao có
AE/AB = BF/BA
Bước 7: Từ tỷ trọng bên trên, tao đem AE.AF = BF.AB
Bước 8: Từ bước bên trên và đặc điểm của tỷ trọng, tao suy đi ra rằng điểm F phía trên đàng cao AE và trải qua trực tâm H của tam giác ABC.
Vậy, tao đang được minh chứng rằng đàng cao AE và BF của tam giác ABC hạn chế nhau bên trên trực tâm H của tam giác.

Để minh chứng rằng điểm M là vấn đề loại nhị bên trên đàng cao AH của tam giác nhọn đem đàng tròn trĩnh nội tiếp ABC, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể dùng quá trình sau:
Bước 1: Gọi O là tâm đàng tròn trĩnh nội tiếp tam giác ABC.
Bước 2: Vì đàng AH là đàng cao của tam giác ABC, nên tao đem quan hệ vuông góc thân thuộc đàng AH và đàng chứa chấp cạnh BC.
Bước 3: Gọi M là vấn đề phó điểm thân thuộc đàng tròn trĩnh nội tiếp và đàng chứa chấp cạnh BC.
Bước 4: Để minh chứng rằng M là vấn đề loại nhị bên trên đàng cao AH, tao cần thiết minh chứng rang M nằm trong phía trên đàng cao AH, tức là minh chứng rằng AM nằm trong vuông góc với BC.
Bước 5: Để minh chứng quan hệ vuông góc thân thuộc AM và BC, tao hoàn toàn có thể dùng một trong những nhị cách thức sau:
- Phương pháp 1: Sử dụng đặc điểm của đàng tròn trĩnh nội tiếp tam giác. Ta hiểu được tam giác ABC là tam giác nội tiếp, vậy nên tổng những góc ở nhị đỉnh ko chứa chấp cạnh BC bởi vì 180 phỏng. Khi bại, tao đem mối quan hệ Một trong những góc của tứ giác ABMC: góc AMB + góc Ngân Hàng Á Châu = 180 phỏng. Vì góc Ngân Hàng Á Châu là góc vuông (do AH là đàng cao), nên góc AMB cũng chính là góc vuông, Tức là AM vuông góc với BC, kể từ bại minh chứng M là vấn đề loại nhị bên trên đàng cao AH.
- Phương pháp 2: Sử dụng công thức Euclid mang lại tam giác. Gọi H là chân đàng cao AH, tao đem mối quan hệ thân thuộc diện tích S nhị tam giác AMB và ABC: diện tích S tam giác AMB = (1/2) * AB * MH và diện tích S tam giác ABC = (1/2) * AB * HC. Vì M phía trên đàng tròn trĩnh nội tiếp, nên tao cũng có thể có những mối quan hệ thân thuộc góc AMB và góc ACB: góc AMB = góc Ngân Hàng Á Châu. Từ bại, tao đem những mối quan hệ sau: (1/2) * AB * MH = (1/2) * AB * HC => MH = HC. Vấn đề này minh chứng M phía trên đàng cao AH (vì AH phân chia HC trở thành nhị phần bởi vì nhau), kể từ bại minh chứng M là vấn đề loại nhị bên trên đàng cao AH.
Đây là 1 trong trong mỗi cơ hội minh chứng điểm M là vấn đề loại nhị bên trên đàng cao AH của tam giác nhọn đem đàng tròn trĩnh nội tiếp ABC. Chú ý rằng cơ hội minh chứng ví dụ hoàn toàn có thể thay cho thay đổi tuỳ theo gót cách thức và kiến thức và kỹ năng được dùng.

Để minh chứng rằng trực tâm H của tam giác ABC phía trên đường thẳng liền mạch trải qua những đỉnh A, D và trung điểm của cạnh BC, tao dùng một số trong những định nghĩa và đặc điểm cơ phiên bản của tam giác.
Ta hiểu được trực tâm H của tam giác ABC là vấn đề phó điểm của phụ vương đàng cao AH, BH và CH. Để giản dị, tao hoàn toàn có thể minh chứng rằng trực tâm H phía trên đường thẳng liền mạch trải qua nhị nút giao của hai tuyến phố cao.
Gọi I là phó điểm của hai tuyến phố cao AH và BC. Ta minh chứng rằng trực tâm H phía trên đường thẳng liền mạch AD.
Câu triệu chứng minh: Trực tâm H nằm trong đường thẳng liền mạch AD.
Bước 1: Chứng minh AHI đồng dạng với ABC.
- Vì AH là đàng cao của tam giác ABC, nên ∠CAH = ∠B.
- Ta đem ∠AHI = ∠ABC (do đồng dạng AHI và ABC).
- Do bại, nhị tam giác AHI và ABC đem nhị góc đều nhau, nên bọn chúng đồng dạng.
Bước 2: Chứng minh ∆ADI đồng dạng với ∆CHA.
- Vì ∆ABC và ∆IHA đồng dạng (do minh chứng ở bước 1), nên ∆AHI đồng dạng với ∆CHA (do ∆IHA đồng dạng với ∆CHA).
- Vấn đề này suy đi ra ∠ADI = ∠CH.
Bước 3: Chứng minh trực tâm H nằm trong đường thẳng liền mạch AD.
- Ta đem ∠ADI = ∠CH (chứng minh ở bước 2).
- Do bại, AD hạn chế CH bên trên một điểm I tuy nhiên AH hạn chế CH bên trên trực tâm H.
- Vậy, H và I trùng nhau.

Qua quá trình minh chứng bên trên, tao đang được minh chứng rằng trực tâm H của tam giác ABC phía trên đường thẳng liền mạch trải qua đỉnh A và trung điểm của cạnh BC. Tương tự động, tao hoàn toàn có thể minh chứng rằng trực tâm H cũng phía trên đường thẳng liền mạch trải qua những đỉnh B, C và trung điểm của cạnh BC.

Để minh chứng rằng tam giác ABF và tam giác BCE đồng dạng, tao cần thiết minh chứng rằng tỉ số những cạnh ứng của nhị tam giác này đều nhau.
Đầu tiên, tao đem nhị cặp góc ứng là góc AFB và góc BEC, vì thế đường thẳng liền mạch AB tuy vậy song với HE nên góc AFB và góc BEC là cặp góc tương đương.
Tiếp theo gót, tao người sử dụng lăm le lí tam giác đồng dạng nhằm minh chứng tỉ số những cạnh ứng đều nhau. Ta biết rằng:
- Tam giác ABF và tam giác BCE đem cặp góc ứng đều nhau là góc AFB và góc BEC.
- Đường trực tiếp AB tuy vậy song với HE nên tỉ trọng thân thuộc phỏng nhiều năm cạnh AB và cạnh HE bởi vì tỉ trọng thân thuộc phỏng nhiều năm cạnh AF và cạnh BE, tức là AB/HE = AF/BE.
Từ nhị điều bên trên, tao có:
- Góc AFB = góc BEC
- Tỉ số cạnh AB và cạnh HE bởi vì tỉ số cạnh AF và cạnh BE, tức là AB/HE = AF/BE.
Do đem nằm trong cặp góc ứng và tỉ số những cạnh ứng đều nhau, tao hoàn toàn có thể Tóm lại rằng tam giác ABF và tam giác BCE đồng dạng (theo lăm le lí tam giác đồng dạng).
Vậy, bằng phương pháp minh chứng được quá trình bên trên, tao đang được minh chứng được rằng tam giác ABF và tam giác BCE đồng dạng khi đường thẳng liền mạch trải qua điểm H và tuy vậy song với cạnh AC của tam giác ABC nhọn.

Để tính diện tích S của tam giác ABC, tao hoàn toàn có thể dùng công thức diện tích S tam giác ABC như sau:
S = một nửa * b * h
Trong bại, b là phỏng nhiều năm cạnh lòng của tam giác, và h là phỏng nhiều năm đàng cao ứng với cạnh lòng bại.
Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên tao hoàn toàn có thể tính được phỏng nhiều năm của đàng cao kể từ những cạnh của tam giác bởi vì những công thức sau:
Đường cao kể từ cạnh AB: h_c = 2 * S / AB
Đường cao kể từ cạnh BC: h_a = 2 * S / BC
Đường cao kể từ cạnh CA: h_b = 2 * S / CA
Sau khi tính được phỏng nhiều năm của những đàng cao, tao hoàn toàn có thể tính được diện tích S của tam giác ABC bởi vì công thức diện tích S tam giác ABC như đang được nêu:
S = một nửa * b * h
Với phỏng nhiều năm của cạnh lòng là AB và phỏng nhiều năm của đàng cao ứng với cạnh lòng này đó là h_c, tao hoàn toàn có thể tính diện tích S của tam giác ABC theo gót công thức:
S = một nửa * AB * h_c
Tương tự động, tao hoàn toàn có thể tính diện tích S của tam giác ABC theo gót những cạnh và đàng cao không giống.
Qua bại, tao đã hiểu phương pháp tính diện tích S của tam giác ABC dựa vào phỏng nhiều năm của những cạnh và đàng cao của tam giác.

Để xử lý câu hỏi này, tao tiếp tục dùng một số trong những kiến thức và kỹ năng về tam giác và hình học tập.
Bước 1: Xác lăm le điểm M bên trên cạnh BC của tam giác ABC. Để đường thẳng liền mạch AM hạn chế đàng tròn trĩnh nội tiếp tam giác bên trên một điểm D, tao nên cần chọn điểm M sao mang lại AM là tiếp tuyến của đàng tròn trĩnh nội tiếp tam giác ABC.
Bước 2: Chứng minh nhị tam giác BMC và ABC đồng dạng. Để thực hiện được điều này, tao cần thiết minh chứng sự tương tự động của nhị tam giác, tức là những góc ứng của bọn chúng đều nhau và tỉ số những cạnh ứng cũng đều nhau.
- Trước tiên, tất cả chúng ta kiểm tra những góc ứng của nhị tam giác BMC và ABC. Ta hiểu được đường thẳng liền mạch AM hạn chế đàng tròn trĩnh bên trên điểm D, vì thế đem góc ứng là góc BMD và góc BAC đều nhau (góc ở tâm ứng với góc ngoài ở B).
- Tiếp theo gót, tao kiểm tra tỉ số những cạnh ứng của nhị tam giác. Ta hiểu được AM là tiếp tuyến của đàng tròn trĩnh bên trên điểm D, vì thế tỉ số AB/BD = AC/CD (theo lăm le lý tiếp tuyến phó đàng thẳng).
Dựa vô sự tương tự động của những góc và tỉ số những cạnh ứng, tao hoàn toàn có thể Tóm lại rằng nhị tam giác BMC và ABC đồng dạng (theo Định lý Đồng dạng tam giác - tuyến tính).
Vậy, tất cả chúng ta đang được minh chứng được rằng nhị tam giác BMC và ABC đồng dạng.

Xem thêm: vẽ 3 hình chiếu vuông góc của vật thể

Đầu tiên, tao cần thiết minh chứng ĐK đàng cao AH cùng theo với đàng trung tuyến của cạnh BC hạn chế nhau bên trên điểm trung điểm là đầy đủ nhằm tam giác ABC là tam giác vuông bên trên A.
Gọi M là vấn đề trung điểm của cạnh BC. Ta đem quá trình tại đây nhằm triệu chứng minh:
Bước 1: Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông bên trên A.
Khi bại, tao biết đàng cao AH tiếp tục trải qua trung điểm M của cạnh BC.
Bước 2: Giả sử đàng cao AH cùng theo với đàng trung tuyến của cạnh BC hạn chế nhau bên trên điểm trung điểm M của cạnh BC.
Ta tiếp tục minh chứng rằng tam giác ABC là tam giác vuông bên trên A.
Vì điểm M phía trên đàng trung tuyến, tao đem BM = MC.
Vì điểm M phía trên đàng cao AH, tao đem AM = MH.
Do bại, tao đem cạnh MC và cạnh MA của tam giác AMC đều nhau, kể từ bại suy đi ra tam giác AMC là tam giác cân nặng bên trên đỉnh M.
Vì BM = MC và AM = MH, tao cũng có thể có AM = MB = MC = MH.
Do bại, tao đem tam giác ABM và tam giác ACM là tam giác đều.
Khi bại, tao đem góc MAC = 60 phỏng và góc MAB = 60 phỏng.
Vì góc MAC và góc MAB đem tổng là 120 phỏng, tao đem góc BAC là 180 phỏng - 120 phỏng = 60 phỏng.
Vì vậy, tao đem tam giác ABC là tam giác đều và tam giác vuông bên trên A.
Tóm lại, tao đang được minh chứng được rằng tam giác ABC là tam giác vuông bên trên A nếu như và chỉ nếu như đàng cao AH của tam giác cùng theo với đàng trung tuyến của cạnh BC hạn chế nhau bên trên điểm trung điểm M.