chứng minh 2 tam giác đồng dạng

Phương pháp chứng tỏ nhì tam giác đồng dạng và phần mềm.

gia su toan lop 8 - nhì tam giac dong dang

Bạn đang xem: chứng minh 2 tam giác đồng dạng

các tình huống đồng dạng của tam giác thông thường :

Trường thích hợp đồng dạng 1 : 3 cạnh ứng tỉ lệ thành phần với nhau (c – c – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tớ sở hữu :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF} =\frac{BC}{EF}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

Trường thích hợp đồng dạng 2 : 2 cạnh ứng tỉ lệ thành phần cùng nhau – góc xen thân mật nhì cạnh vày nhau(c – g – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tớ sở hữu :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF}

\widehat{A}=\widehat{D}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

Trường thích hợp đồng dạng 3 : nhì góc ứng vày nhau(g – g)

xét ∆ABC và ∆DEF, tớ sở hữu :

\widehat{A}=\widehat{D}

\widehat{B}=\widehat{E}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

II > Các ấn định lí đồng dạng của nhì tam giác vuông

1. Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ thành phần với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác ê thì nhì tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)
Nếu nhì cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ thành phần với nhì cạnh góc vuông của tam giác ê thì nhì tam giác đồng dạng.
3. Định lí 3 : ( góc)
Nếu góc nhọn của tam giác này vày góc nhọn của tam giác ê thì nhì tam giác đồng dạng.

giải bài xích tập dượt :

Dạng 1 : chứng tỏ nhì tam giác đồng dạng – hệ thức :


Bài toán 1 :

cho ∆ABC (AB < AC), sở hữu AD là đàng phân giác nhập. Tại miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho \widehat{BCx}=\widehat{BAD} . Gọi I là gửi gắm điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) \frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c) AD2 = AB.AC – BD.DC

GIẢI.

a)∆ADB và ∆CDI , tớ sở hữu :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang

\widehat{BCx}=\widehat{BAD} (gt)

\widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , tớ sở hữu :

\widehat{B}=\widehat{I} (∆ADB ~ ∆CDI)

\widehat{A_1}=\widehat{A_2} (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=>\frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : \frac{AD}{CD} =\frac{BD}{DI}  (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2


bài toán 2 :

Cho tam giác ABC vuông bên trên A, sở hữu đàng cao AH . chứng tỏ những hệ thức :

  1. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC
  2. AB2 +AC2 = BC2
  3. AH2 = BH.CH
  4. AH.BC = AB.AC

Giải.

hai tam giac vuong dong dang

gia su toan lop 8

1. AC2 = CH.BC :

Xét nhì ∆ABC và ∆ HAC, tớ sở hữu :

\widehat{BAC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{C} là góc công cộng.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> \frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

2. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), tớ sở hữu :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

3.AH2 = BH.CH :

Xét nhì ∆HBA và ∆ HAC, tớ sở hữu :

\widehat{BHC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{ABH} =\widehat{ HAC}  cùng phụ \widehat{BAH}

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

Xem thêm: điểm chuẩn đại học nha trang 2022

=> \frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}

=> AH2 = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta sở hữu : \frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC} (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.


Dạng 2 : chứng tỏ nhì tam giác đồng dạng – ấn định lí talet + hai tuyến phố trực tiếp tuy nhiên song :

bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ đàng cao BD và CE. vẽ những đàng cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh :

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

GIẢI.

a) xét ∆ABD và ∆AEG, tớ sở hữu :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang dinh cơ li talet

BD \bot  AC (BD là đàng cao)

EG \bot  AC (EG là đàng cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => \frac{AB}{AE} =\frac{AD}{AG}

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, tớ được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy đi ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, tớ sở hữu :

AB.AG = AC.AF (cmt)

\frac{AB}{AF} =\frac{AC}{AG}

=> FG // BC (định lí hòn đảo talet)


Dạng 3 : chứng tỏ nhì tam giác đồng dạng – góc ứng đều nhau :

bài toán :

Cho ∆ABC sở hữu những đàng cao BD và CE hạn chế nhau bên trên H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cho thấy BD = CD. Gọi M là gửi gắm điểm của AH và BC. chứng tỏ : DE vuông góc EM.

GIẢI.

a)xét ∆HBE và ∆HCD, tớ sở hữu :gia su toan lop 8 - nhì tam giac dong dang - goc bang nhau

\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0 (gt)

\widehat{H_1}=\widehat{H_2} (đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, tớ sở hữu :

\frac{HE}{HD} =\frac{HB}{HC} (∆HBE ~ ∆HCD)

=>\frac{HE}{HB} =\frac{HD}{HC}

\widehat{EHD}=\widehat{CHB} (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> \widehat{D_1}=\widehat{C_1} (1)

mà : đàng cao BD và CE hạn chế nhau bên trên H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH \bot  BC bên trên M.

=>\widehat{A_1}+\widehat{ABC}=90^0

mặt không giống : \widehat{C_1}+\widehat{ABC}=90^0

=>\widehat{A_1}=\widehat{C_1} (2)

từ (1) và (2) : \widehat{A_1}=\widehat{D_1}

hay : \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cmtt câu b, tớ được : \widehat{A_2}=\widehat{E_2} (3)

xét ∆BCD, tớ sở hữu :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân nặng bên trên D

=>\widehat{B_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{B_1}=\widehat{E_1} (∆HED ~ ∆HBC)

=> \widehat{E_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{A_2}+\widehat{ACB}=90^0

\widehat{A_2}=\widehat{E_2} (cmt)

Xem thêm: vai trò của không khí

=>\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=90^0

hay : \widehat{DEM}=90^0

=> ED \bot  EM.