Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện đua nhập lớp 10

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa chấp lốt căn là dạng bài xích tập dượt thịnh hành trong số bài xích đua Toán nhập lớp 10. Để chung những em học viên bắt được cách tiến hành dạng bài xích tập dượt này, VnDoc gửi cho tới chúng ta tư liệu Tìm độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp lốt căn. Mời chúng ta xem thêm nhằm sẵn sàng đảm bảo chất lượng cho tới kì đua cần thiết tới đây và nhất là sẵn sàng đảm bảo chất lượng cho tới kì đua tuyển chọn sinh nhập lớp 10. Dưới đó là nội dung cụ thể, những em xem thêm nhé.

Bạn đang xem: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 9

I. Nhắc lại về kiểu cách thám thính GTLN và GTNN của biểu thức chứa chấp căn

+ Cách 1: Biến thay đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một trong những ko âm với hằng số

- Khi thay đổi biểu thức trở nên tổng của một trong những ko âm với hằng số, tớ tiếp tục tìm kiếm được độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức ấy.

- Khi thay đổi biểu thức trở nên hiệu của một trong những với một trong những ko âm, tớ tiếp tục tìm kiếm được độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức ấy.

+ Cách 2: gí dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với nhì số a, b ko âm tớ có: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi a = b

+ Cách 3: gí dụng bất đẳng thức chứa chấp lốt độ quý hiếm tuyệt đối:

|a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi a.b ≥ 0
|a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi a.b ≤ 0

II. Bài tập dượt ví dụ về vấn đề thám thính GTLN và GTNN của biểu thức chứa chấp căn

Bài 1: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức $A = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}$

Lời giải:

Điều khiếu nại xác lập x ≥ 0

Để A đạt độ quý hiếm lớn số 1 thì $x - \sqrt x + 1$ đạt độ quý hiếm nhỏ nhất

Có $x - \sqrt x + 1 = x - 2.\frac{1}{2}.\sqrt x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$

Lại đem ${\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0$

Dấu “=” xẩy ra $\Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Min $x - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Vậy Max $A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Bài 2: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

a, Rút gọn gàng A

b, Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức $P = A - 9\sqrt x$

Lời giải:

a, $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ với x > 0, x ≠ 1

$= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

$= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$

b, $P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)$ với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, vận dụng bất đẳng thức Cauchy có: $\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6$

$\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow Phường \le - 5$

Dấu “=” xẩy ra $\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn)

Vậy max $P = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$

Bài 3: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn gàng A

b, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của A

Xem thêm: chuỗi truyền electron tạo ra

Lời giải:

a, $A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

$= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}$

b, Có

Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = 0

Vậy min $A=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0$

III. Bài tập dượt tự động luyện về thám thính GTLN và GTNN của biểu thức chứa chấp căn

Bài 1: Tìm độ quý hiếm của x vẹn toàn nhằm những biểu thức sau đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất:

Bài 2: Cho biểu thức:

$A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)$

a. Tính độ quý hiếm của biểu thức A Khi x = 9

b. Rút gọn gàng biểu thức B

c. Tìm toàn bộ những độ quý hiếm vẹn toàn của x nhằm biểu thức A.B đạt độ quý hiếm vẹn toàn lớn số 1.

Bài 3: Cho biểu thức: $A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}$ . Tìm độ quý hiếm của x nhằm A đạt độ quý hiếm lớn số 1.

Bài 4: Với x > 0, hãy thám thính độ quý hiếm lớn số 1 của từng biểu thức sau:

Bài 5: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x - 2}}$

a, Rút gọn gàng biểu thức A

b, Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của A

Bài 6: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}$

a, Tìm ĐK xác lập và rút gọn gàng A

b, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của A

Bài 7: Cho biểu thức $M = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1$

a, Tìm ĐK xác lập và rút gọn gàng M

b, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của M

Bài 8: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của từng biểu thức sau:

Bài 9. Cho x,nó không giống 0 vừa lòng $2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$ . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 10. Cho x,nó là nhì số thực vừa lòng $2{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4$ . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 vừa lòng x+y=1. Tìm GTNN của $A = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy$

Xem thêm: từ đồng nghĩa với từ

Bài 11: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của từng biểu thức sau:

...............................

Ngoài tư liệu bên trên, chào chúng ta xem thêm những Đề đua học tập kì 1 lớp 9, Đề đua học tập kì 2 lớp 9 nhưng mà Cửa Hàng chúng tôi vẫn thuế tầm và tinh lọc. Với tư liệu này chung chúng ta tập luyện thêm thắt tài năng giải đề và thực hiện bài xích đảm bảo chất lượng rộng lớn, thông qua đó chung chúng ta học viên ôn tập dượt, sẵn sàng đảm bảo chất lượng nhập kì đua tuyển chọn sinh lớp 10 tới đây. Chúc chúng ta ôn đua tốt!

Ôn đua nhập lớp 10 chuyên mục 1: Rút gọn gàng biểu thức và vấn đề phụ
Rút gọn gàng biểu thức đại số và những bài xích Toán liên quan
Giải bài xích tập dượt Toán 9 bài xích 8: Rút gọn gàng biểu thức chứa chấp căn thức bậc hai
Ôn đua nhập lớp 10 chuyên mục 6: Chứng minh bất đẳng thức và thám thính GTLN, GTNN