Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tao có:

Bạn đang xem: hệ thức lượng tam giác

Quảng cáo

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vị tổng những bình phương của nhị cạnh sót lại trừ cút nhị lượt tích của nhị cạnh cơ nhân với $cosin$ của góc xen thân thuộc bọn chúng.

Ta sở hữu những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của toan lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính chừng lâu năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ sở hữu những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là chừng lâu năm những đàng trung tuyến theo lần lượt vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân thuộc một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh cơ vị 2 lần bán kính của đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

Xem thêm: if parents bring up a child

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo dõi một trong những công thức sau

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp, bk đàng tròn trặn nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác cơ.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác khi vẫn biết một trong những nhân tố của tam giác cơ.

Muốn giải tam giác tao cần thiết thăm dò côn trùng contact trong số những góc, cạnh vẫn cho tới với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác trải qua những hệ thức và đã được nêu vô toan lí cosin, toan lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhị góc.

=> Dùng toan lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhị cạnh và góc xen giữa

=> Dùng toan lí cosin nhằm tính cạnh loại tía.

Sau cơ người sử dụng hệ trái ngược của toan lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với Việc này tao dùng hệ trái ngược của toan lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

Xem thêm: phép vua thua lệ làng

1. Cần Note là một trong tam giác giải được khi tao biết 3 nhân tố của chính nó, vô cơ cần sở hữu tối thiểu một nhân tố chừng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được vượt lên trên 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.