Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Trong công tác toán 8 liên kết học thức, chân mây phát minh, cánh diều những em sẽ tiến hành học tập những kiến thức và kỹ năng về đặc thù lối phân giác của tam giác. Bài viết lách sau đây tiếp tục tổ hợp kiến thức và kỹ năng những em cần thiết cầm nhập bài bác đặc thù lối phân giác của tam giác lớp 8. Mời những em nằm trong theo dõi dõi.

1. Tính hóa học lối phân giác của tam giác

- Định lý: Trong một tam giác, lối phân giác cảu một góc phân chia cạnh đối lập trở thành nhì đoạn trực tiếp tỉ lệ thành phần với nhì cạnh kề với nhì đoạn ấy.

Bạn đang xem: tính chất đường pg trong tam giác

- Chứng minh ấn định lý:

Vẽ đường thẳng liền mạch qua quýt B tuy vậy song với AD và hạn chế AC bên trên điểm E như hình vẽ.

Theo fake thiết tớ đem AD là lối phân giác của $\large \widehat{BAD}$

=> $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$

Ta đem BE // AD => $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$ ( nhì góc ví le trong) và $\large \widehat{A_{2}}=\widehat{E}$ (hai góc đồng vị)

=> $\large \widehat{B_{1}}=\widehat{E}$ => $\large \Delta AEB$ cân bên trên A.

=> AE = AB (1)

Áp dụng ấn định lý thales vào $\large \Delta CEB$ , tớ có:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}(2)$

Từ (1) và (2) => $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}(dpcm)$

- Chú ý: Trong $\large \Delta$ ABC, nếu như D là vấn đề nằm trong đoạn BC và thỏa mãn $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ thì AD là lối phân giác của góc A.

2. Các dạng bài bác về đặc thù lối phân giác của tam giác

2.1 Dạng bài bác tính phỏng nhiều năm cạnh, diện tích S, chu vi

Cách làm: sát dụng đặc thù lối phân giác của tam giác, những tỉ lệ thành phần thức, ấn định lý thales, ấn định lý pytago để chuyển đổi và đo lường.

Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ có AB = 5cm, CA = 6cm, BC = 7cm. AE là tia phân giác của $\large \widehat{A}$ . Hãy tính đoạn EC, EB.

Lời giải: sát dụng đặc thù của lối phân giác trong $\large \Delta ABC$ và đặc thù của mặt hàng tỉ số cân nhau tớ có:

$\large \frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$

$\large \Rightarrow \frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}\Rightarrow EB=\frac{35}{11}(cm);EC=\frac{42}{11}(cm)$

2.2 Dạng bài bác tính tỉ số phỏng nhiều năm, tỉ số diện tích

- Phươn pháp giải: sát dụng đặc thù lối phân giác nhập tam giác và lập tỉ lệ thành phần thức Một trong những đoạn trực tiếp. sát dụng kỹ năng đại số hóa hình học tập, công thức và thành quả chiếm được kể từ công thức tính diện tích S tam giác.

- Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ và những lối phân giác BD và CE. Biết $\large \frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}; \frac{EA}{EB}=\frac{5}{6}$

Hãy tính những cạnh của $\large \Delta ABC$ , biết $\large \Delta ABC$ có chi vi là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng đặc thù của những lối phân giác BD và CE vào $\large \Delta ABC$ ta có:

$\large \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=4t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.(t > 0)$

$\large \frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AC=5t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.$

Lại đem chu vi của $\large \Delta ABC$ là 45 centimet, tớ có:

AB + BC + CA = 45 = 4t + 6t + 5t = 15t

=> t = 3

Vậy AB = 12cm; BC = 18cm ; CA = 15cm.

>> Xem thêm: Tổng ăn ý kiến thức và kỹ năng toán 8 cụ thể SGK mới

3. Bài tập dượt đặc thù lối phân giác của tam giác toán 8 công tác mới

3.1 Bài tập dượt đặc thù lối phân giác của tam giác toán 8 liên kết tri thức

Bài 4.10 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Trong Hình 4.24 có $\large \widehat{NPH}=\widehat{MPH}$ nên PH là tia phân giác của $\large \widehat{NPM}$

Áp dụng đặc thù lối phân giác của tam giác, tớ có:

$\large \frac{MP}{NP}=\frac{MH}{NH}\Leftrightarrow \frac{5}{x}=\frac{3}{5,1}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.5,1}{3}=8,5$

Bài 4.11 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài bác, lối phân giác nhập của góc A hạn chế BC bên trên D nên AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

Áp dụng đặc thù lối phân giác của tam giác, tớ có:

$\large \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Leftrightarrow \frac{4,5}{7}=\frac{DB}{DC} \Leftrightarrow \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}$

Áp dụng đặc thù mặt hàng tỉ số cân nhau, tớ có:

$\large \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}\Leftrightarrow \frac{DB+DC}{4,5+7}=\frac{BC}{11,5}=\frac{3,5}{11,5}=\frac{7}{23}$

$\large \Rightarrow DC=\frac{7.7}{23}=\frac{49}{23}\approx 2,1(m)$

Bài 4.12 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài bác, ABCD là hình vuông vắn nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ .

Vì M là trung điểm của AB

$\large \Rightarrow AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$

Vì AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ hoặc AI là tia phân giác của $\large \widehat{MAD}$ , vận dụng đặc thù lối phân giác nhập $\large \Delta$ ADM, tớ có:

$\large \frac{AM}{AD}=\frac{IM}{ID}=\frac{1}{2}\Rightarrow ID=2IM$

Ta đem I là vấn đề bắt gặp nhau nên Mai theo dõi quãng lối XiaoMi MI còn Dung theo dõi quãng lối DI.

Ta đem S = v.t. Mà quãng lối Dung cút vội vàng gấp đôi quãng lối Mai cút, véc tơ vận tốc tức thời của 2 các bạn như nhau nên thời hạn Dung cút lối tiếp tục vội vàng gấp đôi thời hạn Mai cút lối thì mới có thể bắt gặp nhau bên trên điểm I.

Dung bắt gặp Mai khi 7h30p nên thời hạn Mai cút bên trên quãng lối XiaoMi MI là: 7h30 - 7h = 30p

Khi tê liệt thời hạn Dung cút là 1h => Thời gian lận Dung xuất phát điểm từ nhà: 7h30 - 1h = 6h30p.

Vậy dung xuất phát điểm từ khi 6h30p nhằm bắt gặp Mai khi 7h30p bên trên điểm I.

3.2 Bài tập dượt đặc thù lối phân giác của tam giác toán 8 chân mây sáng sủa tạo

Bài 1 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tớ đem AD là lối phân giác góc A nên tớ có

$\large \frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{2,4}=\frac{5}{3}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.2,4}{3}=4$

b) Trong $\large \Delta$ EFG, tớ đem EH là lối phân giác góc E nên tớ có

$\large \frac{HG}{HF}=\frac{EG}{EF}\Leftrightarrow \frac{x}{20-x}=\frac{18}{12}$

$\large \Rightarrow 12x=18(20-x)\Rightarrow x=\frac{18.20}{30}=12$

c) Trong t $\large \Delta$ PQR, tớ đem RS là lối phân giác góc R nên tớ có

$\large \frac{SP}{SQ}=\frac{PR}{QR}\Leftrightarrow \frac{5}{6}=\frac{10}{x}$

$\large \Rightarrow x=\frac{6.10}{5}=12$

Bài 2 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC đem AD là lối phân giác

$\large \Rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Áp dụng đặc thù mặt hàng tỉ số cân nhau, tớ có:

$\large \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{8}=\frac{DC}{6}=\frac{10}{8+6}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{40}{7}cm;BC=\frac{30}{7}cm$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H

$\large \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.DB}{\frac{1}{2}AH.DC}= \frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

Bài 3 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tớ có: AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Lại có AB = 15 cm; AC = đôi mươi centimet.

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{35}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}cm$

$\large \Rightarrow DC=BC-DB=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}cm$

Xét $\large \Delta$ ABC đem DE // AB, theo dõi hệ trái ngược ấn định lí Thalès, tớ có:

$\large \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow \frac{DE}{15}=\frac{\frac{100}{7}}{25}$

$\large \Rightarrow DE=\frac{60}{7}$

b) Xét $\large \Delta$ ABC tớ có: AB = 15 centimet, AC = đôi mươi centimet, BC = 25 centimet.

Nên BC² = AB² + AC² => $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A.

Khi tê liệt, tớ có:

$\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}.20.15=150cm^{2}$

Vậy diện tích $\large \Delta$ ABC là 150 cm².

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

$\large \frac{A_{ADB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

$\large \Rightarrow S_{ADB}=\frac{3}{7}.S_{ABC}=\frac{3}{7}.150=\frac{450}{7}cm$

$\large \frac{A_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC.AB}=\left ( \frac{DE}{AB} \right )^{2}=\left ( \frac{\frac{60}{7}}{25} \right )^{2}=\frac{144}{1225}$

$\large \Rightarrow S_{DCE}=\frac{144}{1225}.S_{ABC}=\frac{144}{1225}.150=\frac{864}{49}cm^{2}$

$\large \Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}$

$\large =150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Vậy $\large S_{ADB}=\frac{450}{7}cm^{2};S_{DCE}=\frac{864}{49}cm^{2};S_{ADE}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Xem thêm: phép vua thua lệ làng

Bài 4 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A, vận dụng ấn định lí Pythagore, tớ có:

BC² = AC² + AB² => BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

$\large \Rightarrow 4DB=15-3DB\Rightarrow DB=\frac{15}{7}cm$

Do đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}cm$

Vậy BC = 5cm ; DB = 15/7 cm; DC = 20/7 centimet.

b. Ta có: $\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

$\large \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}cm$

Tam giác ABH vuông bên trên H nên:

$\large HB=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{9}{5}cm$

Ta có: HD = DB - HB = 15/7 - 9/5 = 12/35 centimet.

$\large AD=\sqrt{HD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{12}{35} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Vậy AH = 12/5 cm; HD = 12/35 cm; $\large AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Bài 5 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

• Xét $\large \Delta$ ABM đem MD là lối phân giác $\large \widehat{AMB}$

$\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$

• Xét $\large \Delta$ ACM đem ME là lối phân giác $\large \widehat{AMC}$

$\large \Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC, bởi đó: $\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ , theo dõi ấn định lí Thalès hòn đảo tớ có: DE // BC.

3.3 Bài tập dượt đặc thù lối phân giác của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Áp dụng đặc thù lối phân giác mang lại $\large \Delta$ ABC, tớ có:

AD là lối phân giác của góc BAC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{BD}{5-BD}=\frac{4}{6}$

=> 6BD = 4(5 – BD)

<=> 6BD = đôi mươi – 4BD <=> 6BD + 4BD = 20

<=> 10BD = 20 <=> BD = 2.

BE là lối phân giác của góc ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow \frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{BA}\Leftrightarrow \frac{CE}{6-CE}=\frac{5}{4}$

=> 4CE = 5(6 – CE)

<=> 4CE = 30 – 5CE <=> 4CE + 5CE = 30

<=> 9CE = 30 <=> CE = 30/9 = 10/3

CF là lối phân giác của góc ACB

$\large \Rightarrow \frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\Rightarrow \frac{FA}{AB-FA}=\frac{CA}{CB}\Leftrightarrow \frac{AF}{4-AF}=\frac{6}{5}$

=> 5AF = 6(4 – AF) <=> 5AF = 24 – 6AF

<=> 5AF + 6AF = 24 <=> 11AF = 24

<=> AF=24/11

Vậy BD = 2; CE=10/3; AF = 24/11.

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc thù lối phân giác nhập tam giác, tớ có:

BE là lối phân giác của góc ABC nhập $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}$

BD là lối phân giác của góc ABM nhập $\large \Delta$ ABM

$\large \Rightarrow \frac{DM}{DA}=\frac{BM}{BA}$

Mà BC = 2BM (do AM là lối trung tuyến của $\large \Delta$ ABC)

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}=2\frac{BM}{BA}=2\frac{DM}{DA}$

Vậy $\large \frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}$

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

AD là lối phân giác của góc BAC nhập $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

AE là lối phân giác của góc BAG nhập $\large \Delta$ ABG

$\large \Rightarrow \frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AG}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AC}:\frac{AB}{AG}=\frac{AB}{AC}.\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{AC}$

Vậy $\large \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}$

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là lối phân giác của góc BAC.

Xét $\large \Delta$ AMD đem AN là lối phân giác góc MAD

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{AM}$

Hay $\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{\frac{1}{3}AB}$ (vì AB = 3AM)

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AB}{\frac{1}{3}AB}=3$

Vậy ND = 3MN.

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

a) Xét tam giác ABC vuông bên trên A, theo dõi ấn định lí Pythagore, tớ có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = 5²

Suy đi ra BC = 5.

Do AD là lối phân giác của $\large \widehat{BAC}$ , theo dõi đặc thù lối phân giác nhập tam giác, tớ có:

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

Do tê liệt 4DB = 3(5 – DB) <=>4DB = 15 – 3DB

<=> 4DB + 3DB = 15 <=> 7DB = 15 <=> DB = 15/7

Khi đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy BC = 5; DB = 15/7 ; DC = 20/7.

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy đi ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ trái ngược của ấn định lí Thalès nhập tam giác ABC với DH // AB, tớ có:

$\large \frac{DH}{BA}=\frac{CD}{CB} \Leftrightarrow \frac{DH}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

$\large \Rightarrow DH=\frac{3\frac{20}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách kể từ điểm D cho tới đường thẳng liền mạch AC là DH=12/7.

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, tớ có:

$\large \frac{AH}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (hệ trái ngược của ấn định lí Thalès)

$\large \Rightarrow \frac{AH}{4}=\frac{\frac{15}{7}}{5}\Rightarrow AH=\frac{4.\frac{15}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông bên trên H, tớ có: AD² = AH² + DH² (định lí Pythagore)

$\large \Rightarrow AD^{2}=\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}=\frac{288}{49}$

$\large \Rightarrow AD=\sqrt{\frac{288}{49}}=\sqrt{\frac{144.2}{49}}=\sqrt{\left ( \frac{12\sqrt{2}}{7} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc thù lối phân giác nhập nhì tam giác ACD và BCD, tớ có:

AE là lối phân giác của góc CAD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{AC}{AD}(1)$

BE là lối phân giác của góc CBD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{BC}{BD}(2)$

Từ (1) và (2)

$\large \Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}$

Vậy AD.BC = AC.BD.

Trên đó là những kiến thức và kỹ năng về tính hóa học lối phân giác của tam giác lớp 8 nhập công tác toán 8 liên kết học thức, chân mây phát minh và cánh diều. Ngoài ra VUIHOC chỉ dẫn những em cơ hội giải những bài bác tập dượt nhập sách giáo khoa. Truy cập dichvuseotop.edu.vn nhằm update thêm thắt nhiều kiến thức và kỹ năng toán 8 hữu ích nhé những em!

>> Mời các bạn xem thêm thêm:

Xem thêm: tính từ ed và ing

Hình thoi và hình vuông

Định lí Thalès nhập tam giác

Đường khoảng của tam giác