Cấp Số Nhân Là Gì? Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Và Bài Tập

Cấp số nhân là phần kỹ năng và kiến thức cần thiết nhập lịch trình toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cung cấp số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài xích tập dượt thì những em cần thiết ghi ghi nhớ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài xích tập dượt cung cấp số nhân qua chuyện nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một trong những mặt hàng số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cung cấp số nhân). Có nghĩa là:

Bạn đang xem: tổng của cấp số nhân

$u_{n}$ là cung cấp số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n \in N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$ , với $u_{n}=3^{n}$ là một trong những cung cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cung cấp số nhân u_n có

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cung cấp số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính hóa học cung cấp số nhân

$(u_{n})$ là một trong những cung cấp số nhân thì kể từ số hạng loại nhì, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cung cấp số nhân hữu hạn) tiếp tục vày tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

Nếu một cung cấp số nhân u_n đem số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát lác u_n sẽ tiến hành tính vày công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cung cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0.

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy mò mẫm u₄

Lời giải:

Ta có: u₂²= u₁. u₃= 3

u₃²= u₂. u₄

Từ (1) vì thế u₂ > 0 ( vì thế u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

Khi q = 0 thì mặt hàng đem dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁
Khi q = 1 thì mặt hàng đem dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.
Khi u₁= 0 thì với từng q, cung cấp số nhân đem dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký ngay lập tức nhằm được trao trọn vẹn cỗ kỹ năng và kiến thức về cung cấp số nhân

4. Tổng hợp ý những công thức tính cung cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1$
Kết luận:

Nếu q là ko thay đổi thì mặt hàng u_n là cung cấp số nhân
Nếu q thay cho thay đổi thì mặt hàng u_n ko là cung cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cung cấp số nhân đem số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng trước tiên.

Lời giải:

Ta đem 6 số hạng trước tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n đem số hạng loại nhì là 10 và số hạng loại năm là 1250.

Tìm số hạng loại nhất
Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

Đặt r là công bội của cung cấp số nhân.

Ta có: r^(5-2)= r³ hoặc r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ bại r = 5.

$\Rightarrow$ u1=10=5=2.

Số hạng loại nhất là 2

2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang đến cung cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$ . Dãy số U_n bên trên là cung cấp số nhân trúng hoặc sai?

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không tùy theo n. Vậy mặt hàng số (U_n) là một trong những cung cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cung cấp số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc thù của CSN, chuyển đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân U_n đem U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tao có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cung cấp số nhân U_n đem U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải:

Từ công thức tao có:

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề mang đến tía số x,y,z lập trở nên một cung cấp số nhân và tía số x, 2y, 3z lập trở nên một cung cấp số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải:

Đặt q là công bội của cung cấp số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở nên một cung cấp số nằm trong $\Rightarrow x+3z=4y$

Giải câu hỏi công thức cung cấp số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cung cấp số nhân

Phương pháp:

Để mò mẫm số hạng của cung cấp số nhân tao dùng công thức tính số hạng tổng quát lác U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁và q của cung cấp số nhân biết:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta biến chuyển đổi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12$

Vậy cung cấp số nhân (u_n) đem u₁ = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài mang đến cung cấp số nhân (u_n) với u₃= 8 , u₅= 32. Số hạng loại 10 của cung cấp số nhân bại là?

Lời giải:

Gọi q là công bội của cung cấp số nhân (u_n), tao đem $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, tao đem u₁₀= u₃. q^₇= 8 . 2^₇= 1024

Với q = -2, tao đem u₁₀= u₃. q⁷= 8 . (-2)⁷= -1024

Ví dụ 3: Cho cung cấp số nhân (u_n), hiểu được số hạng trước tiên u₁= 3, công bội là 2. Hãy mò mẫm số hạng loại 5

Lời giải:

Áp dụng công thức tao đem : u_n= u₁. q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅= u₁. q⁴=3 . 2⁴= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cung cấp số nhân của n số hạng trước tiên nhập dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng trước tiên nhập mặt hàng - công thức cung cấp số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cung cấp số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(u_n) đem u₁=2 và q = 3.

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài mang đến cung cấp số nhân (u_n) với

$(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cung cấp số nhân bên trên là gì?
10 số hạng đầu của cung cấp số nhân (u_n) bên trên đem tổng là bao nhiêu?

Lời giải:

Giải bài xích tập dượt vận dụng công thức cung cấp số nhân

Ví dụ 3: Cho cung cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

Dãy số là cung cấp số nhân là trúng hoặc sai?
Tính S = u₂+ u₄+ u₆... + u₂₀

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ ko tùy theo n. Vậy mặt hàng số (U_n) là một trong những cung cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$
Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập trở nên một cung cấp số nhân với số hạng đầu là u₂= 9, q = 3

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác lăm le những bộ phận kết cấu nên một cung cấp số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q tiếp sau đó suy rời khỏi được công thức mang đến số hạng tổng quát lác .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, mò mẫm u₁ khi:

$u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}$

Mà $u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9$

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow$ Ta đem q = 3 hoặc $q = \frac{1}{3}$

Khi bại lượt lượt $u_{1} = \frac{81}{11}$ hoặc $u_{1} = \frac{1}{11}$

Xem thêm: nghị luận về ước mơ

Ví dụ 2: Dãy số này là cung cấp số nhân:

1;0,2;0,04;0,008;...
1,22,222,2222,...
X,2x,3x,4x,...
2,3,5,7,...

Lời giải:

Xét đáp án A tao có:

u₁= 1, u₂= u₁. 0,2, u₃= u₁. (0,2)², u₄= u₁. (0,2)³

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tao chứng tỏ được u_n= (0,2)ⁿ

Khi bại $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ ko đổi

Vậy mặt hàng số là cung cấp số nhân đem công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cung cấp số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cung cấp số nhân (u_n) cần thiết mò mẫm đem công bội q, số hạng trước tiên u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂+ u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁+ u₂+ u₃+ u₄+ u₅)

= q . S₅

Mà S₅= 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cung cấp số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm trọn vẹn kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài xích tập dượt Toán trung học phổ thông với cỗ bí quyết độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cung cấp số nhân (u_n) đem công bội q vừa lòng -1 < q <1 thì cung cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n= u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ- 1)(q - 1)

Trong bại s_n là tổng n số hạng trước tiên của cung cấp số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cung cấp số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài xích mang đến cung cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tao đem tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tổng

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu trình diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải:

Ta có:

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cung cấp số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng tía số hạng trước tiên của mặt hàng số là $\frac{39}{25}$ . Xác lăm le (u₁), q của cung cấp số đó?

Lời giải:

Giải câu hỏi vận dụng công thức cung cấp số nhân

6. Một số bài xích tập dượt cung cấp số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cung cấp số nhân un đem công bội q

a) tường u₁= 2, u₆ = 486. Tìm q

b) tường $q= \frac{2}{3}$ , $u_{4} = \frac{8}{21}$ . Tính u₁

c) tường u₁ = 3, q = -2. Xác lăm le số 192 là số hạng loại bao nhiêu nhập cung cấp số nhân?

Lời giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁.q^n-1

a) Theo công thức bên trên tao có: u₆ = u₁.q⁵ $\Rightarrow$ $q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3$

b) Theo công thức tao có: u₄ = u₁.q³ $\Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}$

c) Theo công thức tao có: $12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cung cấp số nhân (u_n) biết cung cấp số nhân bao gồm đem 5 số hạng và:

a) TH1: u₃= 3 , u₅= 27

b) TH2: u₄– u₂ = 25 , u₃ – u₁ = 50

Lời giải:

a) Theo công thức u_n = u₁.q^{n - 1} ta đem thứu tự những số hạng u₃ và u₅ được tính như sau:

u₃ = u₁.q² $\Rightarrow$ 3 = u₁.q² (1)

u₅ = u₁.q⁴ $\Rightarrow$ 27 = u₁.q⁴ (2)

Từ (1) và (2) tao hoàn toàn có thể suy rời khỏi được

$q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3$

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tao đem $u_{1} = \frac{1}{3}$ ta đem cung cấp số nhân thứu tự là: $\frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27$

Với q = -3 tao đem $u_{1} = -\frac{1}{3}$ ta đem cung cấp số nhân thứu tự là: $\frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27$

b) Theo đề bài xích rời khỏi tao có:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.$

Thay (2) nhập phương trình (1) tao đem 50.q = 25 $\Leftrightarrow q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}$

Vậy tao đem cung cấp số nhân như sau:

$-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}$

Ví dụ 3: Tìm cung cấp số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu vày 31, kể từ bại tao suy ra:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31

$\Rightarrow$ u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q = 31q

$\Rightarrow$ u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau vày 62 kể từ thách thức suy ra

u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S₅ = 31 = $\frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1$

Vậy tao đem cung cấp số nhân theo đuổi đề bài xích là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là một trong,4%. tường rằng bên trên thời khắc tham khảo số dân của tỉnh lúc này là một trong,8 triệu con người, căn vặn với nấc tăng lương lậu như thế thì sau 5 năm, 10 năm số nữa số lượng dân sinh của tỉnh bại là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh bại thời điểm hiện tại là N

Sau 1 năm số lượng dân sinh tăng là một trong,4%N

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này đó là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh bại sau hàng năm lập trở nên một cung cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; …

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài xích mang đến u_n đem những số hạng 0, tìm u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$ . Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải:

Giải câu hỏi vận dụng công thức cung cấp số nhân

Tham khảo ngay lập tức một trong những dạng bài xích tập dượt thương bắt gặp về cung cấp số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng quãng thời gian học tập kể từ tổn thất gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đuổi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học tới trường lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks chung bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không lấy phí ngay!!

Xem thêm: delay to v hay ving

Trên đấy là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cung cấp số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài xích tập dượt kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo nhằm học tập và ôn tập dượt kỹ năng và kiến thức Toán 11 phục vụ ôn đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ thời điểm ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Tổng hợp ý những công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân & bài xích tập
Cấp số nằm trong là gì? Công thức cung cấp số nằm trong và bài xích tập
Xác suất của biến chuyển cố
Giới hạn của mặt hàng số